L os numeros son signos o conjuntos de signos que permiten expresar una cantidad con relación a su unidad. El concepto proviene del latín numĕrus y posibilita diversas clasificaciones que dan a lugar a conjuntos como los números naturales (1, 2, 3, 4…), los números racionales y otros.
Los números enteros abarcan a los números naturales (los que se utilizan para contar los elementos de un conjunto), incluyendo al cero y a los números negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor). Por lo tanto, los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal (es decir que 3,28, por ejemplo, no es un número entero).
Pueden definirse en Z dos operaciones internas binarias + , . : Z x Z ⇒ Z, a las que llamamos suma y producto, respectivamente. Estas operaciones cumplen las siguientes propiedades:
- Cerradas: a+b ∈ Z y a.b ∈ Z, ∀a,b ∈Z
- Conmutativas: a+b = b+a , a.b = b.a , ∀ a,b ∈ Z
- Asociativas: a+(b+c) = (a+b)+c , a.(b.c) = (a.b).c , ∀ a,b ∈ Z
- Existencia de elementos neutros: a+0 = a , a.1 = a , ∀ a ∈ Z
- Existencia de elemento opuesto para la suma: ∀a ∈Z existe -a ∈ Z tal que a + (-a) = 0
- Cancelativa: Si a es distinto de 0, y a.b = a.c entonces b = c
- Distributiva: a.(b+c) = a.b + a.c ∀ a,b,c ∈ Z
Números positivos y negativos.
Los números que están por encima o a la derecha del cero son los números positivos y van precedidos del signo +.
Los números que están por debajo o a la izquierda del cero son los números negativos y van precedidos del signo -.
EL CERO NO TIENE SIGNO, NO ES NI POSITIVO NI NEGATIVO
Los números que expresan unidades completas, positivos y negativos, junto con el 0, se denominan NÚMEROS ENTEROS.
La ordenación de los números enteros
En Z se puede definir una relación de orden total, con el orden usual <. Así, para cualesquiera dos elementos distintos de Z, a<b o bien b<a. Es decir, Z es un conjunto totalmente ordenado.
Esta relación de orden total es compatible con la suma y el producto:
a < b ⇒ a+c < b+c, para todo entero c.a < b ⇒ a.c < b.c, para todo entero c mayor que 0.
Dado un (A,<) conjunto ordenado y dado un subconjunto no vacío S de A, se dice que:
- c ∈ A es cota inferior de S si c < x, para todo x ∈ S
- m ∈ S es mínimo de S si m < x, para todo x ∈ S
Se dice por tanto que S está acotado inferiormente si existe un elemento c ∈ A que es cota inferior de S.
Axioma de buena ordenación en (Z , <)
Si X es un subconjunto no vacío de Z y está acotado inferiormente, entonces X tiene mínimo (habrá pues siempre un primer elemento del conjunto).
Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que un subconjunto de los números naturales también tendrá mínimo, evidentemente.
